Mathe-Projekt „Goldener Schnitt“ Eine fächerverbindende Unterrichtseinheit in Klasse 9
						Ein für alle klaren und wissbegierigen Geister nothwendiges Werk; wo jeder Studierende der Philosophie, Perspective, Malerei, Sculptur, Architektur, Musik und anderer mathematischer Fächer eine angenehme subtile und bewundernswerthe Gelehrsamkeit antreffen und sich mit verschiedenen Fragen der heiligsten Wissenschaft erfreuen wird. Luca PACIOLI „De Divina Proportione” 1509 Hier die wissbegierige 9a des Lise-Meitner-Gymnasiums beim Konstruieren der goldenen Spirale!
Das Projekt „Goldener Schnitt“ wurde über drei Wochen hinweg im Frühsommer 2000 am Lise-Meitner-Gymnasium in Grenzach-Wyhlen durchgeführt. Verantwortliche: StRef Mark Benkelmann (Mathe), StD Walter Werth (Kunst)
				Einführung: Schon seit der Antike wurden Menschen von einer bestimmten geometrischen Teilung einer Strecke, dem „Goldenen Schnitt“ besonders angezogen. Allerdings eröffnen sich dem aufmerksamen Betrachter mehr mathematische Kostbarkeiten als die Definition dieser Streckenteilung vielleicht vermuten lässt. Ferner trifft man den goldenen Schnitt nicht nur in der Architektur und Kunst, sondern auch z.B. in der Biologie. Hintergrund der Einheit: Die Unterrichtseinheit, fächerverbindend mit Bildender Kunst unterrichtet, wurde in die Lehrplaneinheit „Endecken und Beweisen“ des Lehrplans der Klasse 9 (Baden-Württemberg) eingebettet.
Kurze Didaktik: Ziel der Einheit war es, die Schülerinnen und Schüler völlig unbedarft an den goldenen Schnitt heranzuführen. Im Kunstunterricht sollten Aspekte des goldenen Schnitts entdeckt und im Mathematikunterricht dann formuliert und bewiesen werden. Das Aufbrechen von „Verkrustungen“ in Bezug auf den gewohnten Fachunterricht sollten aufgebrochen werden um den Schülerinnen und Schülern einen Blick über die oft starren Fachgrenzen hinaus zu ermöglichen.
Der fächerübergreifende Unterricht: Es soll an dieser Stelle keine Theorie des fächerübergreifenden Unterrichts präsentiert werden, vielmehr soll gezeigt werden, wie die Einheit praktisch an der Schule umgesetzt wurde. Das übergeordnete Prinzip war, die Schüler an Aspekte des Themas im Kunstunterricht heranzuführen, Gemeinsamkeiten, Prinzipien und Besonderheiten entdecken zu lassen. Das gesamte Thema wurde im Vorfeld in drei (grobe) Themenbereiche eingeteilt. Jeder Bereich wurde im Kunstunterricht vorbereitet, die Erkenntnisse und Ergebnisse wurden dann von jeweils einer Schülerin durch einen Kurzvortrag an den Mathematikunterricht „übergeben“, sodass diese selbst zum Gegenstand der Mathestunden wurden. Da die Schülerinnen und Schüler während des Kunstunterrichts selbstständig an verschiedenen Projekten arbeiteten, zeigten diese Vorträge für die meisten entweder Neues oder sie zeigten Zusammenhänge auf, welche dem Einzelnen während seiner eigenen Arbeit verborgen geblieben waren.
Die Inhalte der Einheit: Folgende Inhalte wurden im Unterricht erarbeitet: Ø Definition des goldenen Schnitts, Teilverhältnis, die Zahl F Ø Goldene Rechtecke, goldene Dreiecke, goldene Spirale Ø Fünfeck, Pentagramm, platonische Körper
Präsentation der Ergebnisse: Vor Beginn der Einheit wurden die Schülerinnen und Schüler darüber informiert, dass alle Ergebnisse und Inhalte in Rahmen einer Ausstellung im Schulgebäude präsentiert werden. Die nötigen Exponate und Poster wurden nach Abschluss der Einheit im Kunstunterricht „fachgerecht“ angefertigt, sofern sie nicht schon während des Projekts erstellt wurden (gebastelte Körper etc.). Hier geht’s gleich zu den Bildern...
Literatur: Zur Vorbereitung des Themas eignet sich in hervorragender Art und Weise das Buch von A. Beutelspacher und B. Petri „Der Goldene Schnitt“, erschienen bei Spectrum Akademischer Verlag. Es ist verständlich geschrieben und lässt bezüglich der Mathematik keine Wünsche offen...J Die im Unterricht verwendeten Konstruktionszeichnungen des Freiburger Münsters stammen aus Alfred Wangart’s „Das Münster zu Freiburg im rechten Maß“, leider ist dieser Band nicht mehr im Handel erhältlich... Die benötigten Drucke der Gemälde sind beim Kunstlehrer oder im Internet erhältlich (siehe Linkliste)...
	Das World Mathematical Year 2000: Es sei noch erwähnt, dass dieses Projekt im Rahmen des WMY2000 durchgeführt wird. Infos gibt’s auf der Homepage der deutschen Gruppe, oder auch ganz offiziell und international. Bringen wir die Mathe ins Rampenlicht................J
Abschließende Bemerkungen: Auf diese Seite sollen die mathematischen Details nicht näher ausgeführt werden. Diese werden im Internet und in der Literatur erschöpfend dargestellt... Hier soll nur ein Überblick über den an der Schule inszenierten Unterricht in den beteiligten Fächern gegeben werden! Wer dennoch mehr Mathe sehen will, der sei auf die Linkliste am Ende der Seite vertröstet... Jetzt aber los...........
Teil 1: Definition des goldenen Schnitts, Teilverhältnisse, die Zahl F
		Am Turm des Freiburger Münsters lässt sich der goldene Schnitt wunderschön entdecken, ebenso am Gemälde von Lyonel Feininger „Gelmeroda IX“. Die Schülerinnen und Schülern messen Strecken und bilden Teilverhältnisse. Einige „Fälschungen“ vom Münsterturm lassen die Frage aufkommen „Kann man den richtigen Turm auch ohne Nachmessen und Teilverhältnisse finden?“. Beim Übertragen des Originalbildes von Feininger in ein kleineres Format sind die Schülerinnen und Schüler gezwungen, Teilverhältnisse zu bestimmen und auf ihr eigenes Bild anzuwenden. Die Schülerin, die mit dem bevorstehenden Referat beauftragt war sammelt Ergebnisse der einzelnen Gruppen ein. Ein Teilverhältnis von „so ungefähr 1,6“ macht die Runde. Die Schülerin erweitert ihre Ergebnisse um einige Teilverhältnisse an ägyptischen Grabbeigaben und trägt sie in der nächsten Mathematikstunde ihren Kameraden vor...der Startschuss für die Mathematik! Nachdem nun allen klar war, dass es wohl ein spezielles Teilverhältnis gibt, welches an einigen Beispielen angewendet wurde, wollten sie endlich wissen, um was es eigentlich geht. Der Begriff des goldenen Schnitts wurde geboren...und mathematisch festgemauert! Für den Spezialfall einer Strecke der Länge 1 wurden Major und Minor berechnet und hieraus das (stets konstante) goldene Teilverhältnis. Um das Rechnen mit Brüchen, Wurzeln und Variablen zu üben, wurde das goldene Verhältnis noch nach einem allgemeinen Lösungsansatz berechnet... Die Zahl ist nun bekannt, also können charakteristische Eigenschaften dieser Zahl berechnet werden (Die Magie des Phi...). Zum Abschluss des Abschnitts lösten die Schülerinnen und Schüler in Gruppen das Problem der Konstruktion des goldenen Schnitts. Bis hierhin: Drei Unterrichtsstunden Mathe, drei Unterrichtsstunden Kunst...
Teil 2: Goldene Rechtecke, goldene Dreiecke, goldene Spirale
Als das Projekt in Mathematik angelaufen war, konnte im Kunstunterricht gezielter auf den goldenen Schnitt eingegangen werden. Eine Gruppe wurde gebildet die sich mit einem Bild von S. Dali beschäftigen sollte. Das Bild „Riesige Mokkatasse, fliegend, mit unerklärlicher Fortsetzung von 5 Metern Länge“ zeigt spezielle Abmessungen. Das Bild ist in Form eines goldenen Rechtecks gestaltet (die Rechtecksseiten verhalten sich im goldenen Verhältnis) und ist sehr interessant gestaltet. Er verwendet folgenden Sachverhalt: Teilt man ein goldenes Rechteck ein in das größtmögliche Quadrat und das verbleibende Rechteck, so ist dieses golden. Die Gruppe spürte diesen Sachverhalt am Bild auf, während die anderen Schüler bereits für den dritten Teil des Projekts diverse Körper bastelten oder noch mit ihren Bildern aus dem ersten Teil beschäftigt waren. Eine Schülerin der Gruppe trug in Mathe ihre Resultate gekonnt vor und gab somit den Anstoß für die folgende Gruppenarbeit...der Beweis ihrer Vermutung und die Konstruktion des goldenen Rechtecks. Nach dieser Stunde musste ein dringender Methodenwechsel durchgeführt werden, da die Beweise für die Schülerinnen und Schüler schwer und die Denkansätze ungewohnt sind. Also wurde kurzerhand eine reine Stunde zum „Rechnen mit dem goldenen Schnitt“ eingeschoben...die Schüler dankten es... Weiter ging es dann mit der Konstruktion von goldenen Dreiecken und der goldenen Spirale, welche man aus der fortgesetzten Unterteilung goldener Rechtecke in Quadrate und (goldene) Rechtecke näherungsweise leicht konstruieren kann. Dieser Abschnitt forderte erneut drei Mathestunden und eine spezielle Kunststunde. Ab dem ersten Teil wurde der Kunstunterricht frei gestaltet, die Schülerinnen und Schüler arbeiteten paar- oder gruppenweise an bestimmten Projekten die aus allen Teilbereichen stammten.
					Die Konstruktion der goldenen Spirale...
Teil 3: Fünfeck, Pentagramm, platonische Körper
Dieser Teil des Projekts war im Vorfeld als der größte festgelegt, er beinhaltet schöne Geometrie in der Ebene und krönt die gesamte Einheit mit einem wunderbaren Hauptsatz über (spezielle) platonische Körper... Zu Beginn wurden Fünfecke aus Papierstreifen geknotet. Mit dieser sehr schönen Methode erhält man kleine, regelmäßige Papier-Fünfecke, an denen man die (goldenen) Eigenschaften des regulären Fünfecks gut sehen und zum Teil sofort beweisen kann. Diese Eigenschaften sind im einzelnen: Ø alle Diagonalen sind gleich lang (Beweis mit kongruenten Dreiecken) Ø Seite und gegenüberliegende Diagonale sind parallel (Beweis mit Symmetrieeigenschaften oder mit der Knotenfigur) Ø die Diagonalen teilen sich im goldenen Schnitt (Beweis mit Strahlensatz) Ø Diagonale und Seite stehen im goldenen Verhältnis (Beweis mit vorheriger Behauptung) Es wurde der Klasse viel Zeit eingeräumt, die Schülerinnen und Schüler liefen dafür zur Bestform auf...alle Behauptungen wurden zum Teil sehr kreativ bewiesen!!!!! Eine Konstruktion des regulären Fünfecks schloss das Thema Fünfeck ab. Jetzt war wieder ein Vortrag nötig. Eine Schülerin hatte in der letzten Kunststunde sich alle Ergebnisse der Bastelgruppen besorgt. Die Bastler waren beauftragt, aus drei paarweise orthogonal stehenden Rechtecken verschiedene Körper zu bauen (mit Pfeifenputzern und Trinkhalmen).
			Abhängig von den Proportionen dieser Rechtecke erhält man unterschiedliche Körper. Als Vermutung wurde vorgetragen: Stehen drei goldene Rechtecke paarweise orthogonal aufeinander, so bilden deren Ecken die 12 Ecken eines Ikosaeders (regelmäßiger 20-Flächner). Diese Behauptung klingt (und ist) äußerst kräftig, lässt sich aber mit den Methoden der Klasse 9 (Pythagoras) einfach beweisen. Die Klasse erhielt eine unauffällige Hausaufgabe, in der die Behauptung zu beweisen war, dass einem Quadrat ein goldenes Rechteck so einbeschrieben werden kann, indem die Quadratseiten im goldenen Schnitt geteilt werden. Nun konnte man die Krönung der Einheit vorbereiten... Der Oktaeder wurde vorgestellt und der Klasse ein gebasteltes Modell vorgeführt. Die Schülerinnen und Schüler konnten sofort sehen, dass ein Oktaeder aus drei paarweise orthogonal stehenden Quadraten gebildet werden kann.
Die letzte Stunde... Der Hauptsatz: Teilt man alle Kanten eines Oktaeders im goldenen Schnitt, so sind die Teilungspunkte die Ecken eines einbeschriebenen Ikosaeders. Die Klasse wurde angewiesen, jeder für sich allein einen Beweis zu finden und diesen für sich zu behalten. Alle sollten in den Genuss kommen können, die letzte Hürde der Einheit zu überspringen, den letzten Berg zu erklimmen um die Aussicht zu genießen... Tatsächlich schafften es einige sofort, weitere mit etwas Zeit, den Satz zu beweisen. Wer den letzten Abschnitt aufmerksam gelesen hat kann es meinen Schülerinnen und Schülern gleichtun...viel Spaß...J
Resümee: Abschließend lässt sich bemerken, dass der goldene Schnitt ein sehr schönes Thema für den Unterricht in Mathematik wie auch in Bildender Kunst darstellt. Dass insgesamt 12 Mathestunden darauf verwendet werden ist sicher nicht immer möglich, dennoch bieten sich genügend Möglichkeiten um nur ausgewählte Kapitel zu betrachten.
Bilder zur Einheit: Ø Schnappschüsse Ø Exponate der Ausstellung Ø Bilder der Ausstellung
Feedback: Fragen, Kritik und Sonstiges bitte an mich: MarkBenkelmann@aol.com
Ausgewählte Links zum Thema (die goldene Linkliste, sozusagen...):
Links zu mathematischen Seiten: Etwas zu Fibonacci-Zahlen von Dr. Knott: http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Nombre d’or: http://www.multimania.com/villemingerard/Geometri/NbOr.htm#Top Für Biologen: http://www.unil.ch/sc/pages/bazar/articles/phys/astronomie/plantarithm.htm Konstruktion des Fünfecks: http://www.raikas.net/5eck1.html WMY2000-Siegerposter: http://www.crm.umontreal.ca/math2000/affiches/
Links zu Kunstseiten: Dali: http://www.cc.ece.ntua.gr/~nplati/dali/dated.html Tolle Seite von Dr. Knott (noch eine): http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html Die Uffizien in Florenz: http://www.uffizi.firenze.it/welcomeE.html